actividad 3 Esquemas de los objetivos generales de cada uno delos métodos de mostración

tipos de metodos

Métodos de demostración

Designamos en esta forma los modelos o esquemas más generales que encontramos en los procesos deductivos. Estos modelos, como veremos en el transcurso de su desarrollo, están fundamentados lógicamente en teoremas o reglas de inferencia ya establecidos.

Esquema operativo general

Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica P es teorema. Por este método procedemos así:

1. Suponemos la negación de la tesis (no P) como hipótesis auxiliar.
2. A partir de las premisas de la teoría y de la hipótesis auxiliar se razona por el método directo, hasta obtener como conclusión una contradicción por ejemplo, Q y no Q.
3. Por el método directo concluimos
4. El teorema anterior nos permite concluir del paso 3) la validez de P.

 Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional

"Dado un conjunto de premisas en una teoría, si bajo el supuesto de que una proposición P es verdadera y utilizando las premisas disponibles se puede hacer una demostración de que una proposición Q es verdadera, entonces en esa teoría puede concluirse que es verdadero”.

Esquema operativo general:

Para demostrar que una proposición específica de la forma es teorema se procede así:

1. Suponemos como verdadero el antecedente P. Esta la denominamos hipótesis auxiliar.
2. A partir de la hipótesis construimos una argumentación lógica en la cual podemos utilizar los axiomas y teoremas demostrados para obtener mediante la aplicación de las reglas de validez y de inferencia, la validez de Q.
3. En este punto concluye la prueba y queda establecida la validez de .

A modo de síntesis, una demostración de la proposición por el método directo, tendría este desarrollo esquemático:

Bajo el supuesto de que los siguientes esquemas fueran teoremas, indicar esquemáticamente como se desarrollarían sus demostraciones por el método directo

Método del contrarrecíproco

El teorema del contrarrecíproco da lugar a una variante del método directo, que se utiliza mucho en matemáticas y es conocido como método del contrarrecíproco. Este método puede resumirse así: Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica es teorema y al intentar su demostración por el método directo no logramos obtener la conclusión deseada. Se procede entonces a demostrar por el método directo su contrarrecíproca , si se consigue este objetivo entonces queda establecida la validez de al hacer sustitución por equivalencia.

Esquema operativo general

Para demostrar que una proposición específica de la forma es un teorema se procede así:

1. Suponemos como hipótesis auxiliar no Q.
2. Utilizando el método directo construimos una argumentación lógica hasta concluir no P.
3. Concluimos por el método directo que es teorema.
4. La regla de validez 3 nos permite concluir que es válida mediante la equivalencia del contrarrecíproco.

A modo de síntesis una demostración de la proposición por este método tendría este desarrollo esquemático:

 Método de casos. (Silogismo disyuntivo).

La regla de inferencia de ese nombre da lugar a este método de demostración, casi de forzosa utilización cuando la hipótesis o una de las hipótesis es una disyunción de dos o más proposiciones, en cuyo caso procedemos así:

1. Suponemos la hipótesis dada correspondiente a una disyunción.
2. A partir de cada una de las proposiciones que integran la disyunción se obtiene una conclusión parcial por el método directo.
3. Se concluye finalmente la disyunción de las conclusiones parciales.

Esquema operativo general

Supongamos que se fuera a demostrar que un esquema de la forma es teorema. Bajo este método procedemos esquemáticamente así:

ejemplo de cada  uno de los métodos de mostración 

Método de casos. (Silogismo disyuntivo).

Demostrar el siguiente teorema:

El producto de tres números enteros consecutivos es un número par.

Supongamos: a, b, c son números enteros consecutivos. Hip. 1

Método de demostración por contradicción o reducción al absurdo

Utilizar el método de reducción al absurdo para obtener la conclusión a partir de las premisas dadas.

Método del contrarrecíproco

Demostrar utilizando el método del contrarrecíproco el siguiente teorema:Si el producto de dos enteros es par, al menos uno de ellos es par.

Enunciado explícito: Para a y b números enteros. Si a.b es par entonces a es par o b es par.

Enunciado contrarrecíproco: Si no es cierto que a es par o b es par entonces a.b es impar.

Este enunciado es equivalente a : Si a es impar y b es impar entonces a.b es impar.

Supongamos que a es impar y b es impar (Hip. aux.)

Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional

Demostrar utilizando el método directo que la siguiente proposición es un teorema.

Debemos identificar con absoluta claridad cual es el antecedente y el consecuente en la implicación principal; designémoslos por A1 y C1 respectivamente.

A su vez, como el consecuente C1 es otra implicación, identifiquemos en esta antecedente y consecuente, designándolos por A2 y C2 respectivamente. De nuevo el consecuente C2 es otra implicación, identificando y designando por A3 y C3 su antecedente y consecuente. Puede observarse que en este proceso iterativo de identificación C3 es el último consecuente.

Procedamos ahora a la demostración del teorema.