Sistema inferencial de cálculo de promocional
1.1. Revisión histórica de los métodos del pensamiento. (Aristóteles, George Boole, Augustus De Morgan y Jan Lukasiewicz.)
Aristóteles
El corazón de la lógica de Aristóteles es el silogismo. La silogística de la argumentación denominada lógica por 2,000 años.
En lógica, Aristóteles desarrolló reglas para establecer un razonamiento encadenado que, si se respetaban, no producirían nunca falsas conclusiones si la reflexión partía de premisas verdaderas (reglas validas.) En el razonamiento los nexos básicos eran los silogismos: proposiciones emparejadas que, en su conjunto, proporcionaban una nueva conclusión. El ejemplo más famoso, "Todos los humanos son mortales" y "Todos los griegos son humanos", se llega a la conclusión válida de que "Todos los griegos son mortales". La ciencia es el resultado de construir sistemas de razonamiento más complejos. Aristóteles en su lógica, distinguía entre la dialéctica y la analítica; para él, la dialéctica sólo comprueba las opiniones por su consistencia lógica. La analítica, por su parte, trabaja de forma deductiva a partir de principios que descansan sobre la experiencia y una observación precisa. Esto supone una ruptura deliberada con la Academia de Platón, escuela donde la dialéctica era el único método lógico válido, y tan eficaz para aplicarse en la ciencia como en la filosofía.
George Boole
En el año 1854 publicó una investigación de las leyes del pensamiento sobre las cuales son basadas las teorías matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole aproximó la lógica en una nueva dirección reduciéndola a una álgebra simple, incorporando lógica en las matemáticas. Agudizó la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que representan formas lógicas. Comenzaba el álgebra de la lógica llamada Álgebra Booleana la cual ahora encuentra aplicación en la construcción de computadoras, circuitos eléctricos, etc.
El sistema de lógica de Boole es una de las muchas pruebas y paciencia combinada. Esta el proceso simbólico del álgebra, inventado como herramienta de cálculos numéricos, sería competente para expresar cada acto del pensamiento, y proveer la gramática y el diccionario de todo el contenido de los sistemas de lógica, no habría sido creíble hasta probarlo. Cuando Hobbes publicó su "Computación o Lógica" él tenía un remoto reflejo de algunos de los puntos que han sido ubicados en la luz del día por el Sr. Boole.
El álgebra Booleana tiene una amplia aplicación en el switch telefónico y en el diseño de computadores modernos. El trabajo de Boole ha llegado a ser como un paso fundamental en la revolución de los computadores hoy en día.
Considérense los símbolos de la figura No. 1, utilizándolos podemos decir que Boole pensaba que a una proposición se le podía asignar valores de verdad o falsedad, por ejemplo:
Si llueve me mojo
P = Sí llueve
Q = Me mojo
Augustus De Morgan
En 1838 él definió él termino "inducción matemática" colocando un proceso que ha sido usado sin claridad en una rigurosa base. El termino aparece primero en el artículo de De Morgan (Induction Mathematics) en el Penny Cyclopedia. Que la Penny Cyclopedia publicó a través de la Sociedad de la Difusión Útil del Conocimiento, establecido por el mismo reformador quien fundo London University, y que la Sociedad también publico como un famoso trabajo por De Morgan El calculo integral y diferencial.
Reconsidero la pureza simbólica del álgebra natural y fue consciente de la existencia de otras álgebras como álgebras ordinarias. Presenta las leyes De Morgan y su grandiosa contribución es como un reformador de la lógica matemática.
De Morgan creo y definió las leyes que llevan su nombre, las cuales son reglas de equivalencia en las que se muestran que dos proposiciones pueden ser lógicamente equivalentes, como se muestra a continuación.
Leyes de Morgan Ø (PÚ Q) Û Ø PÙ Ø Q Ø (PÙ Q) Û Ø PÚ Ø Q
Jan Lukasiewicz
Trabajo en lógica matemática, escribió ensayos de los principios de la no contradicción y la excluyo alrededor de 1910, desarrollando un árbol de valores para el calculo proposicional (1917) y trabajo en muchos valores lógicos.
Lukasiewicz presento la "notation Polish" la cual permitía escribir expresiones sin ambigüedad en el uso de soportes y su estudio fue de base para el trabajo de Tarski’s.
1.2. Concepto de la matemática lógica y sus dos principales campos. Cálculo proposicional y cálculo de predicados.
La lógica matemática estudia la forma del razonamiento, se considera como una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido o no.
El cálculo proposicional o lógica proposicional, es la ciencia que trata de los principios válidos del razonamiento y la argumentación. El estudio de lógica es el esfuerzo por determinar las condiciones que justifican a una persona para pasar de una proposición dada, llamadas premisas, a una conclusión que se deriva de aquéllas.
El calculo de predicados está basado en la idea de que las sentencias realmente expresan relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos.
1.3. Significado de la lógica formal en las ciencias de la computación.
La lógica matemática es la disciplina que trata los métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas.
También la lógica tiene participación en la construcción de programas como son los Sistemas Expertos y programas de Inteligencia Artificial en sus diferentes modalidades, que comúnmente se les denominan sistemas basados en reglas.
2.- CALCULO PROPOSICIONAL
2.1.- Principales conceptos
El cálculo proposicional es también llamado, lógica proposicional, calculo sentencial, álgebra Booleana. El cálculo proposicional, junta dos cálculos de predicados con la constitución de símbolos lógicos.
La Lógica Matemática surge como una disciplina matemática cuyo objeto de estudio es la lógica del razonamiento matemático humano (y actualmente también de otras formas de razonamiento.) Requiere de expresar la lógica en términos susceptibles de ser representados y manejados por un computador.
La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia las formas en que se relacionan unas proposiciones con otras y, sobre todo, la relación que se da entre las proposiciones que componen un razonamiento.
Proposiciones
Las proposiciones son definidas, apenas "como un pensamiento completo". Para nuestro propósito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una sentencia.
Las proposiciones son una sentencia declarativa, o reglas las cuales tienen valores de verdad, una proposición puede tener dos valores, verdadero o falso. Pero no ambos (verdadero y falso) y tampoco pueden no tomar ningún valor. Una proposición es un hecho. Los argumentos de las proposiciones son: premisas y conclusiones de una proposición. Las proposiciones son portadoras de veracidad y falsedad.
Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lógica se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, o variables de sentencias o variables proposicionales, p, q, r, s,..., para expresar proposiciones.
Proposiciones simples o hechos
Las siguientes son proposiciones simples las cuales son verdaderas:
1. El cielo es azul
2. La nieve es fría
3. 12*12=144
4. Vicente Fox es el presidente de la Republica Mexicana
5. La Segunda Guerra Mundial duro desde 1939 hasta 1945
Las siguientes proposiciones simples son falsas:
1. Honda hace televisiones
2. El General Fidel Castro es un Demócrata
3. 8+99=231
4. Los Insectos crean su comida a través de fotosíntesis
5. Atenas es la capital de Italia
Las siguientes son proposiciones no validas:
1. Él es un vendedor-> Esta no es una proposición porque "Él" no esta definido. Como un resultado no hay manera de verificar la sentencia y asignarle un valor de verdad.
2. Esta declaración es una mentira-> No es una proposición porque "Esta" no esta definida como una declaración. No hay referencia y como en otros ejemplos no podemos asignar un valor de verdadero o falso a la declaración.
3. Las cosas buenas vienen en pequeños paquetes - > Este tipo de declaración expresa una idea subjetiva o concepto el cual no puede ser verificado en términos de verdadero o falso.
4. La verdad es que no hay verdad-> Esta es también un valor de hecho y expresa un concepto filosófico el cual no es verificable.
5. Dios es bueno-> Este es un valor de hecho y expresa una ética, idea religiosa o dogma. No es una proposición.
6. ¿Por que el Soccer no es más popular que el Básquetbol en Estados Unidos?-> Esta no es una declaración. Simplemente hace una pregunta.
7. 12 + x = 16-> No es una proposición porque "x" es una variable indefinida, al menos que a x se le asignen valores, hasta entonces se puede verificar el valor de verdad o falsedad de la proposición.
8. Al Pacino era un buen actor-> No es una proposición. Esta sentencia expresa una opinión; es subjetivo.
Proposiciones compuestas
Las proposiciones son expresadas a través de variables (p, q, r, s). Conectivos lógicos y operadores establecen relaciones entre dos o más proposiciones. La función principal de los operadores es la de formar una nueva proposición de una o más proposiciones. Así las declaraciones compuestas o proposiciones son formadas.
2.2. Operaciones sobre las proposiciones
Algunos autores por ejemplo agrupan los conectores que se utilizan sobre las proposiciones, en el cálculo proposicional en dos agrupaciones (como la que se muestra en seguida), aunque normalmente otros los clasifican según su importancia:
Conectivos agrupados según Balancing Bird © 199 G. Benton
Monódico: envuelve solamente una expresión de la declaración
La negación, simbolizada por "¬" y significa no es verdad.
Diádico: envuelve dos proposiciones.
El conector AND es simbolizado por "^" y significa "y"
El conector OR es simbolizado por "v" y significa "o"
La condición es simbolizado por "® " y se lee "Sí... entonces"
Bicondicional es simbolizado por "« " y se lee "Sí y solo sí"
3.1. Insuficiencia de la lógica de proposiciones en las representaciones de la lógica de sentido común
La principal debilidad de la lógica proposicional es su limitada habilidad para expresar conocimiento. Existen varias sentencias complejas que pierden mucho de su significado cuando se les representa en lógica proposicional. Por esto se desarrolló una forma lógica más general, capaz de representar todos los detalles expresados en las sentencias, esta es la lógica de predicados.
La lógica de predicados está basada en la idea de que las sentencias realmente expresan relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos. Tales cualidades, relaciones o atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como argumentos o términos del predicado.
Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Es decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro.
3.2. Concepto y ejemplos de cálculo de predicados.
La lógica de predicados determina los elementos del razonamiento de los pequeños elementos de las proposiciones. Véase la figura No. 18.
Predicado
|
(org1, org2, ... orgn)
|
Nombre
del
Predicado
|
Nombre
del
Argumento
|
Figura No. 19 Componentes que forman un predicado
Donde el nombre del predicado identifica a la relación que existe entre los argumentos, entre paréntesis o bien identifica a la propiedad o características que tienen los argumentos en el paréntesis, o bien identifica al nombre de la clase a la que pertenecen los argumentos.
Ejemplo
María y Pablo son hermanos
Juana es la madre de María
Tom es un gato
LA suma de 2 y 3 es 5
Por ejemplo, para expresar "Juana es madre de María", se selecciona un identificador, digamos "madre", para expresar el predicado "es la madre", y se escribe madre (Juana, María). Muchos estudiosos de la lógica sólo utilizan letras individuales para los nombres de predicados y de constantes, ejemplo M(j, m).
